DOOR PAUL LEVRIE. Al jaren proberen mijn collega Rudi Penne en ik de bevolking ervan te overtuigen dat er heel wat wiskunde is die op café kan worden gepopulariseerd, zeg maar: wiskunde aan de toog. We vermoeden zelfs dat er heel wat wiskunde aan de toog is ontstaan.  Sta ons toe enkele voorbeelden te geven.

Paul Levrie

Het vermoeden van Gilbreath-Proth

Over het eerste voorbeeld is er zekerheid. In 1958 zat student Norman Gilbreath tussen twee lessen door te droedelen in een café in Los Angeles. Omdat zijn bestelling op zich liet wachten, amuseerde hij zich door op zijn papieren onderlegger de eerste zoveel priemgetallen op te schrijven. Daar is overigens niets mis mee. Op een volgende regel berekende hij dan de verschillen tussen deze priemgetallen. En hij ging zo nog even verder, uit verveling. Zijn papieren onderlegger zag er na een tijdje ongeveer zo uit:

Groot was zijn verbazing toen hij tijdens het eten merkte dat elke lijn behalve de eerste begint met een 1. Zo ontstond het vermoeden van Gilbreath: als je zo verder gaat, dan blijft het eerste getal op elke rij een 1.

Sinds dan proberen wiskundigen te bewijzen dat het inderdaad zo is. Wat begon op café, werd voortgezet in rekencentra, met computers. Tot op heden zonder succes.

Gilbreath was overigens niet de eerste die dit opmerkte, voor hem was er François Proth (1852-1879), een Frans landbouwer die in zijn vrije tijd de wiskunde bedreef. Wil je meer weten over dit probleem, dan is “Gilbreath + Proth” googlen een goed idee.

Het 196-probleem

De eerste sporen van het tweede voorbeeld vinden we terug in het tijdschrift Sphinx (revue mensuelle des questions récréatives). Dit is de referentie: “Sujets d’étude. No. 74,” Sphinx (Bruxelles), 8 (1938), pp. 12-13. Met dank aan de collega’s van de campusbibliotheek Arenberg.

Voor de wiskundig geschoolden, klik gerust op de afbeelding als je wil lezen wat er staat.

Het probleem in kwestie kunnen we best even uitleggen op een bierviltje:

Kies een getal, draai het om en tel het resultaat op bij het vorige. Indien het resultaat een palindroom is (zoals 77), dan stop je. Indien niet (zoals bij 132), dan herhaal je het procedé. Dit is overduidelijk een toogprobleem. De vraag die je je hierbij kan stellen, de vraag die ook D.H. Lehmer zich stelde in bovenstaand artikel, is de volgende: kom je uiteindelijk altijd een palindroom uit? (Lehmer was overigens niet van de minste: hij hield zich o.a. bezig met de priemgetallen, en de Lucas-Lehmer test is dé test om na te gaan of een getal van een bepaalde vorm een priemgetal is.)

Het antwoord moeten we u schuldig blijven. Al snel bleek dat het getal 196 weerstand biedt tegen het palindromiseren. Lehmer zei het al in 1938. Wat is er mis met het getal 196? Toen bleek dat 196 na 73 stappen nog steeds geen palindroom werd, stopte Lehmer er mee. Sinds dan wordt er ijverig gerekend: neem zeker eens een kijkje op de de website van Wade VanLandingham waar de speurtocht naar Lychrel-getallen beschreven wordt. (Je kan het bekijken als een wiskundige variant van de speurtocht naar buitenaards leven.) Een Lychrel-getal (een anagram van `Cheryll’, de toenmalige vriendin van VanLandingham) is een getal dat nooit een palindroom wordt. Het is niet geweten of er zo’n getal bestaat. 196 is een kanshebber.

De spiraal van Ulam

We kunnen nog meer voorbeelden geven, bijvoorbeeld de priemgetallenspiraal van Ulam (1963) is duidelijk op café ontstaan, wat er ook van gezegd wordt op wikipedia. Als je de natuurlijke getallen in een spiraal schrijft, en er dan de getallen die niet priem zijn, uitgooit, dan krijg je dit:

Zie je de structuur, de lijnen? Die priemgetallen, die volgens de wiskundige Don Zagier “als onkruid groeien tussen de natuurlijke getallen, waarbij zij schijnbaar aan geen andere wet dan aan de wetten van het toeval gehoorzamen, en waarbij niemand kan voorspellen, waar het volgende priemgetal zal opduiken”, lijken op deze figuur toch niet zo ongeordend te zijn.

Het 3x+1-vermoeden

Ook het vermoeden van Collatz uit 1937 hoort in deze categorie caféproblemen thuis. Kort beschreven gaat het hierom: kies een getal, indien even, deel door 2, indien oneven doe maal 3 plus 1. En herhaal het procedé. Bijvoorbeeld, indien we starten met 12, dan krijgen we dit.

12, 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

Het (voorlopig onbewezen) vermoeden van Collatz, ook wel het 3x+1-vermoeden genoemd, zegt dat je uiteindelijk altijd op 1 uitkomt, met welk getal je ook begint. Dit probleem heeft heel veel onderzoek gegenereerd…

Tot slot
… en we kunnen zo nog wel een tijdje doorgaan. Nu vraagt de lezer zich misschien af: heeft dit allemaal wel nut? Waarschijnlijk weinig, maar je weet maar nooit: in het begin van de 20ste eeuw zei de grote Britse wiskundige Godfrey Hardy (te zien als Jeremy Irons in de recente film The man who knew infinity) dat niets wat hij ooit gedaan had enig praktisch nut zou hebben. Hij was een specialist op het gebied van de getaltheorie, en dat is nu net de tak van de wiskunde die er sinds de komst van de computers voor zorgt dat we veilig banktransacties kunnen doen. I rest my case.

Om af te ronden nog dit, omdat deze blog oorspronkelijk over pi-dag zou gaan. Het wereldrecord decimalen van pi uit het hoofd opzeggen terwijl je tegelijkertijd met drie ballen jongleert, staat op naam van een Zweed: 9778 decimalen in 1 uur 20 minuten 45 seconden jongleren.